花花酱 LeetCode 368. Largest Divisible Subset

也算是一道比较经典的DP题了，需要找到一个最大的子集，使得其中元素两两的余数为0。

我们假设有一个集合为{a1, a2, a3, …, an}, {a1 < a2 < … < an)

如果 a2 % a1 = 0, a3 % a2 == 0, 那么a3 % a1 一定也等于0。也就是说a2是a1的倍数，a3是a2的倍数，那么a3一定也是a1的倍数。所以我们并不需要测试任意两个元素之间的余数为0，我们只需要检测a[i]是否为a[i-1]的倍数即可，如果成立，则可以确保a[i]也是a[i-2], a[i-3], … a[1]的倍数。这样就可以大大降低问题的复杂度。

接下来就需要dp就发挥威力了。我们将原数组排序，用dp[i]来表示以a[i]结尾（集合中的最大值），能够构建的子集的最大长度。

转移方程：dp[j] = max(dp[j], dp[i] + 1) if nums[j] % nums[i] = 0.

这表示，如果nums[j] 是 nums[i]的倍数，那么我们可以把nums[j]加入以nums[i]结尾的最大子集中，构建一个新的最大子集，长度+1。当然对于j，可能有好多个满足条件的i，我们需要找一个最大的。

举个例子：
nums = {2, 3, 4, 12}
以3结尾的最大子集{3}，长度为1。由于12%3==0，那么我们可以把12追加到{3} 中，构成{3,12}。
以4结尾的最大子集是{2,4}，长度为2。由于12%4==0，那么我们可以把12追加到{2,4} 中，构成{2,4,12} 。得到最优解。

这样我们只需要双重循环，枚举i，再枚举j (0 <= i < j)。时间复杂度：O(n^2)。空间复杂度：O(n)。

最后需要输出一个最大子集，如果不记录递推过程，则需要稍微判断一下。